حل تمرین صفحه 132 ریاضی دوازدهم تجربی

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 132 - تمرین 1 سلام به شما دانش‌آموزان عزیز. بیایید با هم این تمرین هندسه را تحلیل کنیم. **الف) محاسبه حجم حاصل از دوران:** با توجه به تصویر، ذوزنقه قائمه حول قاعده بزرگ خود دوران می‌کند. این دوران جسمی را ایجاد می‌کند که ترکیبی از یک **استوانه** و یک **مخروط** است. ابتدا ابعاد را از روی شبکه شطرنجی استخراج می‌کنیم: شعاع قاعده مشترک ($r$) برابر با ۳ واحد است. ارتفاع استوانه ($h_{cyl}$) برابر با ۴ واحد است. ارتفاع مخروط ($h_{cone}$) برابر با ۳ واحد است. حجم استوانه: $V_{cyl} = \pi r^2 h = \pi (3^2)(4) = 36\pi$ حجم مخروط: $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3^2)(3) = 9\pi$ حجم کل جسم: $V_{total} = 36\pi + 9\pi = 45\pi$ **ب) تحلیل سطح مقطع:** زمانی که یک جسم دوار با صفحه‌ای که شامل محور دوران است برخورد کند، سطح مقطع حاصل همواره شکلی است که از دو شکل اولیه (قرینه نسبت به محور) تشکیل شده است. در اینجا، سطح مقطع یک **ذوزنقه متساوی‌الساقین** بزرگ خواهد بود. ابعاد این ذوزنقه عبارتند از: قاعده کوچک (بالا): ۲ برابر عرض ذوزنقه اولیه در آن بخش، یعنی $3 + 3 = 6$ واحد. قاعده بزرگ (پایین): حاصل جمع دو قاعده ذوزنقه اولیه، یعنی $4 + 7 = 11$ واحد. ارتفاع این مقطع برابر با $2 \times 3 = 6$ واحد است. مساحت سطح مقطع: $S = \frac{(6 + 11) \times 6}{2} = 17 \times 3 = 51$ واحد مربع.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 132 - تمرین 2 در این تمرین با دوران شکلی که به محور نچسبیده است سروکار داریم. **الف) رسم شکل و محاسبه حجم:** دوران یک مربع که با فاصله از محور می‌چرخد، جسمی شبیه به یک **لوله ضخیم** یا یک **استوانه توخالی** ایجاد می‌کند. شعاع خارجی استوانه ($R$): فاصله دورترین ضلع از محور که برابر $2 + 3 = 5$ واحد است. شعاع داخلی استوانه ($r$): فاصله نزدیک‌ترین ضلع از محور که برابر $2$ واحد است. ارتفاع جسم ($h$): برابر با ضلع مربع یعنی $3$ واحد است. فرمول حجم استوانه توخالی: $V = \pi (R^2 - r^2) h$ $V = \pi (5^2 - 2^2) \times 3 = \pi (25 - 4) \times 3 = 21 \times 3 \times \pi = 63\pi$ واحد مکعب. **ب) توصیف سطح مقطع:** هرگاه صفحه‌ای موازی با قاعده (عمود بر محور دوران) این جسم را قطع کند، سطح مقطع حاصل یک **طوقه** یا **حلقه دایره‌ای** (Annulus) خواهد بود. این حلقه دارای شعاع داخلی ۲ واحد و شعاع خارجی ۵ واحد است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 132 - تمرین 3 بیایید تجسم کنیم! لوزی از دو مثلث متساوی‌الساقین تشکیل شده که از قاعده به هم چسبیده‌اند. وقتی لوزی حول قطر بزرگ خود (۶ واحد) دوران می‌کند، دو **مخروط** هم‌اندازه ایجاد می‌شوند که قاعده آن‌ها بر هم منطبق است. **مشخصات مخروط‌ها:** شعاع قاعده ($r$): نصف قطر کوچک لوزی است، یعنی $4 \div 2 = 2$ واحد. ارتفاع هر مخروط ($h$): نصف قطر بزرگ لوزی است، یعنی $6 \div 2 = 3$ واحد. حجم یک مخروط: $V_{one} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2^2)(3) = 4\pi$ حجم کل جسم: چون دو مخروط داریم، حجم کل برابر است با: $V_{total} = 2 \times 4\pi = 8\pi$ واحد مکعب.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 132 - تمرین 4 در این سوال به بررسی ویژگی‌های تحلیلی بیضی می‌پردازیم. **الف) استخراج مشخصات پایه:** کانون‌ها $F(1, 3)$ و $F'(1, -5)$ هستند. چون طول کانون‌ها یکسان است، بیضی **قائم** است. * **فاصله کانونی ($2c$):** فاصله بین دو عرض کانون‌ها است: $3 - (-5) = 8$ واحد. پس $2c = 8 \Rightarrow c = 4$. * **مختصات مرکز ($O$):** نقطه وسط کانون‌ها است: $(\frac{1+1}{2}, \frac{3-5}{2}) = (1, -1)$. * **معادله قطر بزرگ:** خطی است که از کانون‌ها می‌گذرد: $x = 1$. * **معادله قطر کوچک:** خطی است که از مرکز عبور کرده و بر قطر بزرگ عمود است: $y = -1$. **ب) محاسبات ثانویه:** داده شده که نیم‌قطر بزرگ $a = 6$ است. * **اندازه قطر کوچک ($2b$):** ابتدا $b$ را از رابطه فیثاغورسی بیضی ($a^2 = b^2 + c^2$) پیدا می‌کنیم: $6^2 = b^2 + 4^2 \Rightarrow 36 = b^2 + 16 \Rightarrow b^2 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ طول قطر کوچک $= 2b = 4\sqrt{5}$ واحد. * **خروج از مرکز ($e$):** از نسبت فاصله مرکز تا کانون به نیم‌قطر بزرگ به دست می‌آید: $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.66$ خروج از مرکز بیضی حدود **۰.۶۶** است که نشان‌دهنده کشیدگی متوسط بیضی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 132 - تمرین 5 بیایید با استفاده از داده‌های خروج از مرکز و قطر، تمام اجزای بیضی را بازسازی کنیم. **الف) محاسبات پارامترها:** * قطر کوچک $2b = 6 \Rightarrow b = 3$. * خروج از مرکز $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} \Rightarrow c = 0.8a$. * استفاده از رابطه فیثاغورس: $a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow a^2 = 3^2 + (0.8a)^2$ $a^2 = 9 + 0.64a^2 \Rightarrow 0.36a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = \frac{9}{0.36} = 25 \Rightarrow a = 5$. * بنابراین $c = 0.8 \times 5 = 4$. **نتایج بخش الف:** فاصله کانونی: $2c = 2 \times 4 = 8$ واحد. طول قطر بزرگ: $2a = 2 \times 5 = 10$ واحد. **ب) تعیین مختصات (بیضی افقی است):** مرکز $O(-1, -4)$ است. چون بیضی **افقی** است، تغییرات $a$ و $c$ روی $x$ و تغییرات $b$ روی $y$ اعمال می‌شود. * **دو سر قطر بزرگ:** $A(-1+5, -4) = (4, -4)$ و $A'(-1-5, -4) = (-6, -4)$. * **دو سر قطر کوچک:** $B(-1, -4+3) = (-1, -1)$ و $B'(-1, -4-3) = (-1, -7)$. * **کانون‌ها:** $F(-1+4, -4) = (3, -4)$ و $F'(-1-4, -4) = (-5, -4)$.